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Produktionsfunktionen (engl. production functions) Produktionsfunktionen beschreiben die Zusammenhänge zwischen den Ausbringungsmengen (kurz: Ausbringung) x; der Produktarten (Produkt) i (i = 1,2,...,I) eines produktiven Systems und den Einsatzmengen r“ der Produktionsfaktoren n (n = 1,2,...,N). Eine allgemeine Formulierung der Produktionsfunktion für Monoproduktion (Produktion) weist auf den Zusammenhang zwischen der Ausbringungsmenge x und den Einsatzmengen r“ der Produktionsfaktorarten n (n = 1,...,N) hin.
Aus dem frühen Stadium der Produktionstheorie (Produktions und Kostentheorie) stammt das so genannte Ertragsgesetz, welches den Ertrag aus dem Einsatz peripher substitutionaler Produktionsfaktoren zeigt. ha der Form der Produktionsfunktion vom Typ A wird die Ausbringungsmenge x in Abhängigkeit von einer variablen Faktormenge r, dargestellt: In der ersten Phase steigen die Ausbringung x (Ertrag), die 4 Produktivität (e = x/r,) und die Grenzproduktivität (dx/dr, = x’). Am Ende der ersten Phase erreicht die Grenzproduktivität Eine zweite Form der Ertragsgesetze stellen die Produktionsfunktionen dar, deren Grenzproduktivitäten positiv sind und mit partieller Zunahme der Faktormengen abnehmen (Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs). Diese Produktionsfunktionen werden neoklassisch genannt. In den gesamtwirtschaftlichen Produktionsfunktionen wird das Bruttosozialprodukt x in Abhängigkeit von den volkswirtschaftlichen Produktionsfaktoren Arbeit (1) und Kapital (2) dargestellt. Darin bedeutet r1 die eingesetzte Arbeitsmenge (a Arbeit), r2 die eingesetzte Kapitalmenge (a Kapital). Die Größe c stellt einen Verteilungsfaktor dar. Die Produktionsfunktion vom Typ B (E. Gutenberg) geht davon aus, dass Produktionsstufen oft auch in ihrer Leistung variierbar sind und für verschiedene Verbrauchsfaktoren Verbrauchsfunktionen existieren. Diese beschreiben den spezifischen Faktorverbrauch v, pro Ausbringungseinheit in Abhängigkeit von der eingestellten Aggregatsleistung. Je nach Art der Maschine und anderer Einflussgrößen der Produktionssituation ergeben sich unterschiedliche Verbrauchsfunktionen. Eine in bestimmter Weise eingestellte Produktionssituation (z ituation) führt zu einer Produktionsfunktion in folgender Form: Darin ist der Zusammenhang zwischen der Einsatzmenge r“ des Produktionsfaktors n und der Leistung d des Aggregats durch die Verbrauchsfunktion v, (d) determiniert. Eine ausgewählte Produktmenge x wird durch eine Kombination von Leistung und Zeit gefertigt. In vielen Situationen kann die ausgewählte Menge x durch verschiedene Zeit LeistungsKombinationen, die unterschiedliche Kosten verursachen, gefertigt werden. Es wird von zeitlicher und intensitätsmäßiger Anpassung gesprochen. Die Produktionsfunktionen des Typs A und B messen die Ausbringung in den Mengen x, der Fertig oder Halbprodukte. Dies geschieht durch die Nutzung einer Momentanleistung und führt zu einem Momentanverbrauch, der von Verbrauchsfunktionen abhängt. Eine Produktionsfunktion vom Typ C (E. Heinen) richtet sich auf den Faktoreinsatz und das Ergebnis eines elementaren Produktionsvorganges (Teilvorgang) ein. In ihm wird eine Elementarkombination von Faktormengen vollzogen. Dies geschieht durch die Nutzung einer Momentanleistung und führt zu einem Momentan verbrauch, der von Verbrauchsfunktionen abhängt. Ein Fertig oder Halbprodukt entsteht durch eine Kombination und Wiederholung in der Anzahl w der Elementarkombinationen j. Darin stellt r“ (t“) einen durch die Zeit und nicht durch eine Elementarkombination verursachten Verzehr dar. In der Produktionsfunktion vom Typ C treten zahlreiche Varianten der Elementarkombinationen auf. Intensive Analysen der Vielfalt der Produktionssituationen haben zur Formulierung weiterer Produktionsfunktionen geführt wie z. B. Leontief Produktionsfunktion, Engineering Production Functions, Durchsetzfunktion von Pichler, Input Output nalyse Konzept von Kloock und weitere Ansätze. Produktionsfunktionen sollen den Zusammenhang zwischen Faktoreinsatz und Ausbringung herstellen, d. h. eine Produktionsfunktion soll alle technisch realisierbaren Mengenkombinationen bestimmter Produktionsfaktoren und Produkte aufzeigen; dabei handelt es sich um eine rein mengenmäßig ausgerichtete Beziehung unter Ausschluß von Qualitätsänderungen. Die Berücksichtigung unterschiedlicher Produktqualitäten und / oder Faktorqualitäten erfordert die Aufstellung so vieler Produktionsfunktionen, wie es Produkt bzw. Faktorqualitäten gibt. Formal kann die Produktionsfunktion dann geschrieben werden: (xi,. . ., xm) = (r,,. . ., rn), wobei mit (x. . ., xm) die verschiedenen Kombinationen von Ausbringungsmengen und mit (r1}. . ., rn) die verschiedenen Faktoreinsatzmengen-kombinationen beschrieben sind. Im Ein-Produkt-Fall lautet die Produktionsfunktion dann dementsprechend: x = f (rh. . ., r“). Produktionsfunktionen werden sowohl einzelwirtschaftlich für Fertigungsbetriebe als auch für landwirtschaftliche Produktionsbetriebe als auch gesamtwirtschaftlich für Regionen oder Volkswirtschaften ermittelt; während bei den einzelwirtschaftlichen Produktionsfunktionen die Annahme der Homogenität von Faktoreinsatz und Ausbringung als realistisch anzusehen ist, steht bei gesamtwirtschaftlichen Produktionsfunktionen hinter dieser Annahme eine Aggregation von Faktor und Ausbringungsmengen, deren Zustandekommen einer gesonderten Betrachtung bedarf. Die gesamtwirtschaftlichen Produktionsfunktionen werden überwiegend als CES-Funktionen (CES = con-stant elasticity to scale) dargestellt; die wichtigsten sind die Cobb-Douglas-Funktion und die Leontief-Funktion. Die Cobb-Douglas-Funktion lautet: Produktionsfunktion vom Typ C wobei mit x das Bruttosozialprodukt, mit r, der gesamtwirtschaftliche Einsatz von Arbeit, und mit r2 der gesamtwirtschaftliche Einsatz von Kapital und mit ct ein Distributionsfaktor bezeichnet wird; der Distributionsfaktor ist empirisch aus den Vergangenheitswerten für r}, r2 und x zu bestimmen. Die Leontief-Produktionsfunktion geht von konstanten Produktionskoeffizienten a für den Einsatz des Faktors in der Brancheaus; die Ausbringungen der verschiedenen Branchen sind bei den anderen teilweise wieder Input; das Bruttosozialprodukt wird über eine Input-Output-Tabelle aus den Ausbringungen der einzelnen Branchen und deren Faktoreinsatz erklärt. Die einzelwirtschaftlichen Produktionsfunktionen wurden zuerst für die landwirtschaftliche Produktion entwickelt (Liebig, J. v., Die Grund sätze der Agrikulturchemie, Braunschweig 1855). In einer Schreibweise, die der hier verwendeten entspricht, findet sich bei Mitscherlich (Mit-scherlich, E. A., Die Ertragsgesetze, Berlin 1948, S. 11) folgende Produktionsfunktion für den Ertrag x in Abhängigkeit von der Einsatzmenge r des Wachstumsfaktors, von einem Proportionalitätsfaktor C und dem maximalen Ertrag XM: X = XM(l-10Cr). Für die Leistungserstellung in Fertigungsbetrieben werden in der Betriebswirtschaftslehre vier Produktionsfunktionen unterschieden: (Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs), Produktionsfunktion vom Typ B (Gutenberg-Produktionsfunktion), »Produktionsfunktion vom Typ C, Produktionsfunktion vom Typ D. Die Produktionsfunktion vom Typ Dlehnt an das Konzept der Leontief-Produktionsfunktion an, das auf deneinzelnen Betrieb bezogen wird, der realistischerweise als mehrstufiger Mehrproduktartenbetrieb angesehen wird (Kloock, J., Betriebswirtschaftliche Input-Output-Modelle, Wiesbaden 1969, S. 100 f.). In dieser Produktionsfunktion werden die innerbetrieblichen Verflechtungen durcheine Input-Output-Matrix erfaßt, wobei aber an die Stelle der konstanten Produktionskoeffizienten dieVerbrauchsfunktionen und andereEinsatzvariationsbeziehungen gesetztwerden. Die Produktionsfunktionlautet dann allgemeinVm = E F (D, v) m’1 • Wmit dem Faktoreinsatz Vm derFaktoren, der Einheitsmatrix E, der Matrix F der Verbrauchsfunktionsausprägungen in Abhängigkeit von derLeistungsmatrix D der Betriebsmittel und dem Output W. Diese Produktionsfunktion stellt eine formaleKlammer zwischen den anderen Produktionsfunktionen her. Produktionsfunktion vom Typ A Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs (Ertragsgesetz) Produktionsfunktion vom Typ B Gutenberg-Produktionsfunktion Produktionsfunktion vom Typ C Während bei der Gutenberg-Produktionsfunktion (Produktionsfunktion vom Typ b) die Betrachtung der Produktionsfunktion vom Typ C Bedingungen des Faktorverzehrs und der Ausbringung an einem Aggregat im Vordergrund steht und dabei durchschnittliche Werte erfaßt werden, stellt die Produktionsfunktion vom Typ C auf eine momentane Betrachtung der betrieblichen Teilprozesse, in denen die Leistungserstellung erfolgt und auf ihre »zweckentsprechende Zusammenfassung« zum betrieblichen Produktionsergebnis ab (Heinen, E., Betriebswirtschaftliche Kostenlehre, 3. Auflage Wiesbaden 1970, S. 285 f.). Die Bestimmung der Produktionsfunktionen, die in ihrer Gesamtheit die Produktionsfunktion vom Typ C ausmachen, erfolgt in mehreren Schritten. Im ersten Schritt wird der Prozeß der betrieblichen Leistungserstellung in Teilvorgänge zerlegt, die der Analyse zugänglich sind und die als Elementarkombinationen bezeichnet werden. Daran anschließend werden die Bestimmungsgrößen für den Faktorverzehr bei einmaligem Vollzug der Elementarkombination ermittelt, wobei technische und ökonomische Verbrauchsfunktionen und Belastungsfunktionen existieren können; die Elementarkombinationen können in diesem Zusammenhang nach out-put-fixen und output-variablen sowie nach limitationalen und substitutio-nalen Kombinationen unterschieden werden. Im dritten Schritt erfolgt in Form von Wiederholungsfunktionen die Festlegung, wie oft die Elementarkombinationen wiederholt werden müssen, um ein bestimmtes Produktionsergebnis zu erreichen (Heinen, E., a. a. O., S. 285). Die Angabe des Faktorverzehrs r; des Faktors pro Rechnungsperiode erfolgt dann über die Angabe der Zahl Wj der Durchführung von Elementarkombinationen und des Verzehrs r, t des Faktors für eine Elementarkombination. Unter Berücksichtigung von Faktorverzehr, der einer bestimmten Elementarkombination nicht zugerechnet werden kann, sondern der über die Zeit erfolgt, ergibt sich (Heinen, E., a. a. O., S. 288): mr, = L r,• Wj + ri(tj). j-l Für die Festlegung der Elementarkombinationen gelten zwei Voraussetzungen (Heinen, E., a. a. O., S. 221): Der Gesamtprozeß der Leistungserstellung muß der Art in Elementarkombinationen zerlegt werden, daß sich zwischen Faktorverbrauch und Leistung eindeutige Beziehungen herstellen lassen. Es müssen sich eindeutige Beziehungen zwischen der technischen und der ökonomischen Leistung der Elementarkombination herstellen lassen. Die in den Elementarkombinationen eingesetzten Produktionsfaktoren werden in Potentialfaktoren und Repetierfaktoren eingeteilt. Der Verbrauch an Repetierfaktoren erfolgt in Abhängigkeit von der Leistungsabgabe der Potentialfaktoren; diese Leistungsabgabe kann im Zeitablauf schwanken; die »Momentanleistung« kann zu jedem Zeitpunkt eine andere sein und damit einen anderen »Momentanverbrauch« bedingen (Heinen, E., a. a. O., S. 228). Die Produktionskoeffizient Ermittlung der Momentanleistung und des zugehörigen Momentanverbrauchs erfolgt über ein Zeitbelastungsbild, in dem Stillstandsphasen, Anlaufphasen, Leerlaufphasen, Bearbeitungsphasen und Bremsphasen erkennbar werden (Heinen, E., a. a. O., S. 230 f.). Aus den Zeitbelastungsbildern wird dann der Verbrauch durch Belastungsfunktionen ermittelt (Heinen, E., a. a. O., S. 237 ff.). Die Elementarkombinationen können sowohl vom Input als auch vom Output her fixiert oder variabel sein; daraus ergeben sich vier Formen von Elementarkombinationen, bei denen die Belastungsfunktionen unterschiedliche Verläufe aufweisen (Heinen, E., a. a. O., S. 237). Outputfixe, limitationale Elementarkombinationen sind nach Input und Output eindeutig festgelegt. Outputvariable, limitationale Elementarkombinationen können mit jeweils unterschiedlichem Einsatz ein anderes Ergebnis erzielen. Outputfixe substitutionale Elementarkombinationen können das gleiche Ergebnis mit verschiedenen Faktoreinsatzkombinationen erzielen. Outputvariable, substitutionale Elementarkombinationen sind nach Output und Input im Rahmen ihrer Verbrauchsfunktionen frei variierbar.
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